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I Frattali
Chi vuole avvicinarsi allo studio della geometria frattale deve necessariamente conoscere un tipo particolare di trasformazioni geometriche del piano: le trasformazioni affini. Solo in questo modo si può capire come si ottengono frattali, come, ad esempio, la gerla di Sierpinski. Queste figure infatti si ottengono ripetendo un gran numero di volte alcune trasformazioni affini. Il termine "frattale" deriva dal latino fractus, ovvero "spezzato, irregolare", e gli oggetti frattali hanno spesso un'apparenza "frastagliata" che non viene meno anche quando li si sottopone a successivi ingrandimenti. La loro caratteristica fondamentale è infatti la complessità a tutte le scale dimensionali. Se si ingrandisce una parte di un qualunque oggetto euclideo ad esempio un triangolo non si ottiene alcuna nuova informazione, l'ingrandimento non rivela alcun dettaglio che non fosse già percepibile alla scala inferiore. Consideriamo ora invece un frattale in particolare, un frattale che può essere ottenuto dal nostro triangolo di partenza mediante una semplice costruzione geometrica: su ciascun lato del triangolo fissiamo il punto medio e congiungiamo i tre punti così individuati. Il triangolo iniziale risulta allora diviso in quattro triangoli. Questa operazione può essere ripetuta su ciascuno dei quattro triangoli, e quindi su ognuno dei triangoli ottenuti a partire da questi, e così via all'infinito. L'oggetto frattale che si ottiene è noto come triangolo di Sierpinski. Se ingrandiamo una parte del triangolo di Sierpinski ad esempio uno dei quattro triangoli individuati dal "primo livello" della nostra costruzione-otterremo un'immagine del tutto identica a quella iniziale, e ciò continuerà ad essere vero quando procediamo a ingrandire parti sempre più piccole.

Ed ecco il nostro triangolo di Sierpinski:

Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero
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Sovrapponiamo alla sua superficie un triangolo che ha come lati i segmenti che uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente
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Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati, otteniamo 9 triangoli
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Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati, otteniamo 27 triangoli
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Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati, otteniamo 81triangoli
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Ripetiamo il procedimento su ognuno degli 81 triangoli che si sono così formati, otteniamo 243 triangoli
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Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli si triplica, mentre il lato di ciascuno di essi si dimezza. Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere ripetuto senza limite. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale.




L'affascinante mondo dei frattali.........qui di seguito alcune immagini:




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